Hambro blev født ind i en bankfamilie af dansk jødisk oprindelse, som havde slået sig ned i Dorset og London i begyndelsen af det 19. århundrede. Der er opkaldt en vej i Hellerup efter familien – Hambros alle.
Ved udbruddet af Anden Verdenskrig blev Hambro sat i spidsen for aktiviteter i Skandinavien, formidling af våbenleverancer, efterretningsnetværk og sabotageaktioner. Efter Frankrigs fald i juni 1940 blev Hambro udnævnt til oberst i generalstaben og blev bedt af Ronald Cross om at tilslutte sig Ministry of Economic Warfare, en dækorganisation for Special Operations Executive (SOE). SOE blev anklaget for at skabe “en modstandsånd i besatte områder”. Gennem sin kontakt med Ebbe Munck, en anti-nazistisk journalist, knyttede Hambro sig til den danske modstand og blev slået til ridder som ridderkommandør af Orden of the British Empire for sit arbejde i 1941. Hambro nægtede at acceptere nogen løn for sit militære arbejde i krigstid.

Mellem december 1940 og november 1941 var Hambro også ansvarlig for at føre tilsyn med den franske, belgiske, tyske og hollandske sektion af SOE, og fra november 1941 var han næstkommanderende i SOE i 5 måneder. I 1942 lykkedes det ham at overtale de britiske og norske organisationer til at danne en planlægnings kommission, som var medvirkende til at udforme Operation Grouse og Operation Swallow, vigtige dele af de norske tungtvandssabotagemissioner. På dette tidspunkt var Hambro i SOE’s eksekutivkomité og blev forfremmet til Air Commodore. Roundell Palmer, nu leder af SOE, udnævnte ham til at efterfølge Frank Nelson. Hans første store handling som leder af SOE var at møde oberst William Joseph Donovan, lederen af OSS og hans modsatte nummer. En uenighed om handlinger i Mellemøsten fik Hambro til at træde tilbage i 1943.

I resten af krigen fungerede han som leder af den “britiske råstofmission” i Washington; et dække for udveksling af information og teknologi mellem Storbritannien og USA, hvilket førte til detonationen af den første atombombe som en del af Manhattan-projektet. Han var med til at lede efter tyskernes atomprogram chefer og materialer herunder Heisenberg som var tidligere ven med Niels Bohr.

Efter krigen vendte Hambro tilbage til byen og påtog sig ansvaret for de virksomheder, som Hambros var tilknyttet. Ved sin onkels, Olaf Hambros død, blev han i 1961 formand for Hambros Bank. Samtidig med at han bevarede en tæt forbindelse til handelen i Skandinavien, udvidede han bankens interesser til Afrika og Asien.